题目内容

在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC＞AD，AB=8cm，BC=18cm，CD=10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒．
（1）求四边形ABPQ为矩形时t的值；
（2）若题设中的“BC=18cm”改变为“BC=kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围；
（3）在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由．

解：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，
由题意可知：AB=DH=8，AD=BH，DC=10，
∴HC= $\text{[math]}$ ，
∴AD=BH=BC-CH，
∵BC=18，
∴AD=BH=12，
若四边形ABPQ是矩形，则AQ=BP，
∵AQ=12-2t，BP=3t，
∴12-2t=3t
∴ $\text{[math]}$ （秒），
答：四边形ABPQ为矩形时t的值是 $\text{[math]}$ ．

（2）由（1）得CH=6，
如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，
同理：PG=6，
易知：QD=GH=2t，
又BP+PG+GH+HC=BC，
∴3t+6+2t+6=k，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴k的取值范围为：k＞12cm，
答t与k的函数关系式是t= $\text{[math]}$ ，k的取值范围是k＞12cm．

（3）假设存在时间t使PQ=10，有两种情况：
①如图2：由（2）可知：3t+6+2t+6=18，
∴ $\text{[math]}$ ，
②如图3：四边形PCDQ是平行四边形，
∴QD=PC=2t，
又BP=3t，BP+PC=BC，
∴3t+2t=18，
∴ $\text{[math]}$ （秒），
综上所述，存在时间t且 $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒时P、Q两点之间的距离为10cm，
答：在移动的过程中，存在t使P、Q两点的距离为10cm，t的值是 $\text{[math]}$ 秒或 $\text{[math]}$ 秒．
分析：（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出12-2t=3t，求出即可；
（2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC=BC得出方程求出即可；
（3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6=18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC=BC，代入求出即可．
点评：本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质，梯形的性质，等腰梯形的性质，解一元一次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．