Question

△ABC中，∠ACB=90°，AD是角平分线，CH是高，AD、CH交于点E，DF垂直于BC，垂足为F．求证：四边形CEFD是菱形．

Answer 1

分析：根据角平分线性质求出CD=DF，证Rt△CAD≌Rt△FAD，△CAE≌△FA，推出∠ACE=∠AFE，求出∠B=∠ACE=∠AFE，推出EF∥BC，再推出DF∥CH，推出四边形CEFD是平行四边形，根据CD=DF，推出平行四边形CEFD是菱形．

解答：证明：∵∠ACB=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，
∴CD=DF，∠CAD=∠FAD，∠ACD=∠AFD=90°，
在Rt△CAD和Rt△FAD中

AD=AD CD=DF

，
∴Rt△CAD≌Rt△FAD（HL），
∴AC=AF，
在△CAE和△FAE中，

AC=AF ∠CAD=∠FAD AE=AE

，
∴△CAE≌△FAE（SAS），
∴∠ACE=∠AFE，
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°=∠ACB，
∴∠ACH+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACE=∠AFE，
∴EF∥BC，
即EF∥CD，
∵CH⊥AB，DF⊥AB，
∴DF∥CH，
即EF∥CD，DF∥CE，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∵CD=DF，
∴平行四边形CEFD是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点，题目综合性比较强，有一定的难度．