Question

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B＞∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.

(1)求证:DE=EF;

(2)连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠DGC.

Answer 1

分析：本题考查了三角形的中位线、全等三角形、直角三角形的性质以及三角形的外角和定理.(1)要证明DE=EF,先证△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜边上的中线,

∴ CDAD,∴ ∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB可得∠2=∠A,要证∠B=∠A+∠DGC,只需证明∠3=∠2+∠DGC.

证明：(1)∵ 点D为边AB的中点（如图）,DE∥BC,∴ AE=EC.

∵ CF∥AB,∴ ∠A=∠2.

在△ADE和△CFE中,∴ △ADE≌△CFE(ASA),∴ DE=EF.

(2)在Rt△ACB中,∵ ∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴ CD=AD,∴ ∠1=∠A.

∵ DG⊥DC,∴ ∠1+∠3=90°.又∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠3.

∵ CF∥AB,∴ ∠2=∠A.∵ ∠3=∠2+∠DGC,∴ ∠B=∠A+∠DGC.

点拨：证明两个角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角（内错角）相等；④角的平分线的性质；⑤同角（或等角）的余角（或补角）相等；⑥对顶角相等；⑦借助第三个角进行等量代换．