Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，将△PBC绕点B按逆时针方向旋转90°到△QAB的位置．
（1）求PQ：PB的值；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

分析：（1）依题意设PA=k，PB=2k，PC=3k（k＞0）；根据旋转的性质，可得AQ=PC=3k；进而在Rt△BPQ中，求可得QB的长，作比可得出PQ：PB的值．
（2）根据勾股定理，易得AQ²=AP²+PQ²，故∠QPA=90°；进而可得∠APB=135°．

解答：解：（1）由题意设PA=k，PB=2k，PC=3k（k＞0），
∵△QAB由△BPC绕点B旋转90°而得，
∴QB=BP=2k，∠PBQ=90°，
AQ=PC=3k，
在Rt△BPQ中，PQ=

BQ2+BP2

=2

2

K，
∴PQ：PB=

2

．

（2）在△APQ中，
∵AQ²=（3k）²=9k²，AP²+PQ²=k²+（2

2

k）²=9k²，
∴AQ²=AP²+PQ²，
∴∠QPA=90°，又∠QPB=45°，
∴∠APB=135°．

点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．