Question

【题目】在矩形中，，，是射线上的一个动点，作，交射线于点，射线交射线于点，设，.

（1）如图，当在边上时（点与点、都不重合），求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当时，求的长；

（3）当时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）3或7.

【解析】

（1）P在BC上运动时，要求y关于x的函数解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使问题到解决，而关键是解决PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，从而解决问题；（2）把x=3的值代入第一问的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值；（3）由条件可以证明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情况讨论，从而求出BP的值．

解：（1）如图：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BP=x，CE=y，

∴PC=5-x，DE=4-y，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，

∵∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴△ABP∽△PCE，

∴

∴

∴；

（2）当x=3时，，

即CE= ，

∴DE=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BF．

∴△AED∽△FEC，

∴，

∴，

∴CF=3；

（3）根据tan∠PAE=，可得：=2

由（1）可知，当点P在边BC上时：△ABP∽△PCE

∴=2

于是：

解得：x=3，y=1.5

如图，当点P在BC的延长线上时，

同理可证：△ABP∽△PCE

此时，BP=x-5

∴

解得：x=7，y=3.5．

p>∴BP=3或7．