Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q
（1）若BP= ，求∠BAP的度数；
（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；
（3）以PQ为直径作⊙M． ①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；
②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABP=90°，

∴tan∠BAP= = = ，

∵tan30°= ，

∴∠BAP=30°

（2）解：如图1，设PC=x，则BP=1﹣x，

∵△FGC≌△QCP，

∴GC=PC=x，DG=1﹣x，

∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD是等腰直角三角形，

∴FG=DG=CQ=1﹣x，

∵AB∥DQ，

∴ ，

∴ ，

∴x=（1﹣x）2，

解得：x1= ＞1（舍去），x2= ，

∴PC=

（3）解：①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，理由是：

取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，

∵∠PCQ=90°，PQ为直径，

∴点C是圆M上，

∵△PCQ为直角三角形，

∴MC=PM，

∴∠MCP=∠MPC，

∵∠APB=∠MPC，

∴∠MCP=∠APB，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠MCP+∠BAP=90°，

∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，FD=FD，

∴△ADF≌△CDF，

∴∠FAD=∠FCD，

∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，

∴∠BAP=∠BCF，

∴∠MCP+∠BCF=90°，

∴FC⊥CM，

∴FC与⊙M相切；

如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M也相切，理由是：

取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，

同理得∠AQD=∠MCQ，点C是圆M上，

∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF，

∴∠FAD=∠FCD，

∵∠AQD+∠FAD=90°，

∴∠MCD+∠FCD=90°，

∴FC⊥MC，

∴FC与⊙M相切；

：②当点P在线段BC上时，如图4，

设⊙M切BD于E，连接EM、MC，

∴∠MEF=∠MCF=90°，

∵ME=MC，MF=MF，

∴△MEF≌△MCF，

∴∠QFC=∠QFE，

∵∠BAP=∠Q=∠BCF，

设∠Q=x，则∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，

∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，

∴3（45+x）=180，

x=15，

∴∠Q=15°，

∴∠BAP=15°，

作AP的中垂线HN，交AB于H，交AP于N，

∴AH=AP，

∴∠BHP=30°，

设BP=x，则HP=2x，HB= x，

∴2x+ x=1，

x=2﹣ ，

∴PC=BC﹣BP=1﹣（2﹣ ）= ﹣1；

当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，

同理可得：PC= +1；

综上所述：PC= ﹣1或 +1．

【解析】（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数；（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ得 ，代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x＜1，写出符合条件的PC的长；（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，只要证明FC⊥CM即可，先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM，则∠MCP=∠MPC，从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再证明△ADF≌△CDF， 得∠FAD=∠FCD，则∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，FC⊥CM；
如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，则FC⊥CM，FC与⊙M相切；②当点P在线段AB上时，如图4，设⊙M切BD于E，连接EM、MC，设∠Q=x，根据平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂线HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的长，则得出PC= ﹣1；当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，同理可得：PC= +1．