题目内容

已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．
（1）如果 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；
（2）如果 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的值；
（3）如果 $数学公式$ ，直接写出 $数学公式$ 的值．

解：（1）设AB=BC=3a，
∵∠ABC=90°
∴AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵AB=BC，DE⊥AC于E
∴∠C=∠BAC=45°，∠EDC=45°，
∴DE=CE
∵ $\text{[math]}$ ，
∴DE=CE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．

（2）作EG⊥BC交AD于G，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，

（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设AB=BC=3a，利用勾股定理求得AC．利用AB=BC，可得∠C=45°，再利用DE⊥AC于E，可得DE=CE= $\text{[math]}$ ，然后根据 $\text{[math]}$ 即可求得 $\text{[math]}$ 的值；
（2）作EG⊥BC交AD于G，可得 $\text{[math]}$ ，再利用 $\text{[math]}$ ，即可求出 $\text{[math]}$ 的值；
（3）根据 $\text{[math]}$ ，可直接得出 $\text{[math]}$ 的值．
点评：此题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．