Question

顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为

 

．

Answer 1

分析：根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形的与原正方形相似，且相似比是

2

：2，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比为1：2．

解答：解：如图：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°，AD=AB=BC=CD
∵E，F，G，H是正方形各边的中点
∴AE=AF=BF=BG
∴△AEF≌△BFG，∠EFA=∠GFB=45°
∴∠EFG=90°，EF=FG
同理：EF=FG=GH=EH
∴四边形EFGH是正方形
∴四边形ABCD∽四边形EFGH
设AB=2x，则AF=x，EF=

2

x
∴所得的四边形的面积与原正方形的相似比为

2

：2
∴所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为1：2．

点评：此题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方．