Question

如图，已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x-1图象交于A（1，b）点，且一次函数的图象经过（2，b+k）点．
（1）求A点坐标及反比例函数的解析式；
（2）请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A（1，b）和（2，b+k）代入y=2x-1可得

b=2×1-1 b+k=2×2-1

，解方程组可得k、b的值，进而得到反比例函数的解析式为y=

1

x

；
（2）首先根据A点坐标计算出AO的长，然后分情况讨论：①当OA为腰时，由OA=OP，由OA=AP；②当OA为底时分别求出坐标即可．

解答：解：（1）由题意得

b=2×1-1 b+k=2×2-1

，
解得

b=1 k=2

，
∴点A的坐标为（1，1）
∴反比例函数的解析式为y=

1

x

；

（2）∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
∴OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP得P₁（

2

，0），P₂（-

2

，0）；由OA=AP得P₃（2，0）．
②当OA为底时，得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（

2

，0），（-

2

，0），（2，0），（1，0）．

点评：此题主要考查了反比例函数综合，以及等腰三角形的判定，关键是正确求出A点坐标，在使△AOP为等腰三角形时，要注意分情况讨论，不要漏解．