Question

已知：一条抛物线的开口向上，顶点为A（-2，0），与y轴相交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点C作CD∥AB，交x轴于点D．
（1）求点D的坐标．
（2）试探索：AC与BD能否互相垂直？如果能，请求出以这条抛物线为图象的二次函数的解析式；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，得点B、C关于直线x=-2对称，点B的横坐标为0，
∴点C的横坐标为-4．
∴BC=4．
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD=4．
∴点D的坐标为（-6，0）．

（2）能．
要使AC与BD互相垂直，必须使平行四边形ABCD是菱形，
即AB=BC=4．
∵AO=2，∴BO=2

3

，即点B的坐标为（0，2

3

）．
设所求的二次函数的解析式为y=a（x+2）²．
代入点B的坐标，得2

3

=4a．
∴a=

3

2

．
∴当二次函数的解析式为y=

3

2

x2+2

3

x+2

3

时，AC⊥BD．