Question

等边三角形的边长为a，P是等边三角形内一点，则P到三边的距离之和是

3

2

a

．

Answer 1

分析：作出图形，求出等边三角形的高，连接PA、PB、PC，分别设点P到AB、BC、AC边的高分别为h₁、h₂、h₃，然后利用三角形的面积列式整理即可得解．

解答：解：如图，∵等边三角形的边长为a，
∴等边三角形的高为

3

2

a，
连接PA、PB、PC，设点P到AB、BC、AC边的高分别为h₁、h₂、h₃，
则S_△ABC=

1

2

a•

3

2

a=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₂+

1

2

AC•h₃，
即

1

2

a•

3

2

a=

1

2

a•h₁+

1

2

a•h₂+

1

2

a•h₃，
整理得，h₁+h₂+h₃=

3

2

a，
即P到三边的距离之和是

3

2

a．
故答案为：

3

2

a．

点评：本题考查了等边三角形的性质，连接PA、PB、PC把△ABC分成三个三角形，然后根据△ABC的面积等于三个小三角形的面积的和列出等式是解题的关键．