Question

已知关于x的方程x²+2x+1-m²=0
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）设方程的两个实数根为x₁、x₂，且x₁²-x₂²=2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据△≥0恒成立即可证明．
（2）由方程的两个实数根为x₁、x₂，根据根与系数的关系即可解答．

解答：解：（1）∵△=2²-4×1×（1-m²）=4-4+4m²=4m²≥0恒成立，
∴方程总有两个实数根；

（2）由方程的两个实数根为x₁、x₂，根据根与系数的关系得出：
x₁+x₂=-2，x₁x₂=1-m²，
∵x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2，
∴x₁-x₂=-1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-4（1-m²）=1，
解得：m₁=

1

2

，m₂=-

1

2

．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．