Question

【题目】如图，已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．

①__________；

②若为的中点，则的面积为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

①由折叠得∠DAE=∠FAE，AD=AF=AB，再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG得∠BAG=∠FAG，从而可以求出∠EAG的度数；

②设BG=GF=y，则CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得△CGF的面积.

解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=a，∠DAE=∠FAE.
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=×90°=45°；

②若E为CD的中点，则DE=CE=EF=a，
设BG=GF=y，则CG=a-y，
CG2+CE2=EG2，
即(ay)2+(a)2＝(a+y)2，
解得y=a，
∴BG=GF=a，CG=a-a＝a，
∴＝=.

∴S△CFG＝S△CEG＝××a×a＝a2.

故答案为：①45°；②a2.