Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，线段AF和⊙O切于点A，D是AF的中点，BF交⊙O于点E，过B点的切线与DE的延长线交于点C．
（1）求证：CD与⊙O相切．
（2）若tan∠BEC=2，BE+CD=8+5，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AE、OE、OD，可证△ADO≌△EDO，继而可得∠DEO=90°，这样可证得CD与⊙O相切．
（2）设AE=x，则BE=2x，根据切线的性质，勾股定理和三角形的相似，表示出有关线段的长度，然后利用BE+CD=8+5解出x，继而求四边形ABCD的周长．
解答：解：
连接AE、OE、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，则∠AEF=90°，
在Rt△AEF中，
∵D是AF的中点，
∴DE=FD=AD，
在△ADO与△EDO中，，
∴△ADO≌△EDO，
∵线段AF和⊙O切于点A，
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴CD与⊙O相切．
（2）
连接OC交EB于点H，
∵CE、CB为⊙O的切线，
∴OC⊥EB，
易得△BOC∽△HBC，
∴∠COB=∠CBE，
∵CE、CB是⊙O的切线，
∴∠CEB=∠EAB=∠CBE，
∵tan∠BEC=2，设AE=x，则BE=2x，
∴AB==x，OB=x，
∵∠COB=∠CBE=∠CEB，
∴CB=x=CE，
在Rt△FAB中，AB=x，AF=x，
则AD=x=DE，
∴CD=CE+ED=x，
∵BE+CD=8+5，
代入可得2x+x=8+5，
解得x=4，
∴四边形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=2DC+AB=2×4×+×4=14．
点评：本题属于圆的综合题，涉及了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握各知识点，要求同学们仔细思考，将所学知识融会贯通．