Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=________．

Answer 1

2
分析：连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB=5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE=CF=OF=OE，根据3-r+4-r=5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长，根据tan∠ODA=求出即可．
解答：解：连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，
由勾股定理得：AB==5，
∵⊙O是三角形ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四边形CFOE是正方形，
∴CE=CF=OF=OE，
∴3-r+4-r=5，
r=1，AQ=AE=3-1=2，OQ=1，
∵D是AB的中点，
∴AD=，
∴DQ=AD-AQ=，
tan∠ODA==2，
故答案为：2．
点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，正方形的性质和判断，解一元一次方程，勾股定理，切线长定理等知识点的理解和掌握，能求出OQ、DQ的长是解此题的关键．