Question

如果α、β是方程x²+2（k+3）x+k²+3=0的两实根，则（α-1）²+（β-1）²的最小值是________．

Answer 1

18
分析：由根与系数的关系得出α+β=-2（k+3），α•β=k²+3，把代数式化成含α+β，α•β的形式，代入求出求出其值，在根据根的判别式求出k的范围，取符合条件的k值代入求出即可．
解答：由根与系数的关系得：α+β=-2（k+3），α•β=k²+3，
∴原式=α²-2α+1+β²-2β+1，
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2，
=4（k+3）²-2（k²+3）+4（k+3）+2，
=2（k+7）²-54，
∵b²-4ac=4（k+3）²-4×1×（k²+3）=24k-24≥0，
∴k≥-1，
∴当k=-1时值最小，代入求出最小值是18．
故答案为：18．
点评：本题主要考查对根与系数的关系，根的判别式等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行计算是解此题的关键．