Question

（2013•徐州模拟）如图1，已知直线y=kx经过A（6，-3）、B（m，2）两点，在y轴的正半轴上有一点C，且S_△ABC=30．
（1）求k，m的值；
（2）如图2，若抛物线的顶点为C，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上方部分的抛物线上，是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为梯形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=kx经过A（6，-3）、B（m，2）两点，即可求出k和b的值；
（2）根据三角形的面积公式求出OC的长，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，待定系数法求出a，b，c，抛物线的解析式即可求出；
（3）过点C作AB的平行线与抛物线交于点D，求出直线CD的解析式，求出直线CD与抛物线的交点，D点即为所求．

解答：解：（1）∵直线y=kx经过A（6，-3）、B（m，2）两点，
∴-3=6k，解得k=-

1

2

，
2=-

1

2

m，解得m=-4，

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
由S△ABC=

1

2

OC(4+6)=30得OC=6，C（0，6），
又知抛物线过A（6，-3），B（-4，2），则

c=6 36a+6b+c=-3 16a-4b+c=2

，
解得a=-

1

4

，b=0，c=6，
即抛物线的解析式：y=-

1

4

x2+6，

（3）由题意过点C作AB的平行线与抛物线交于点D，
则直线CD的解析式为y=-

1

2

x+6，
直线y=-

1

2

x+6与抛物线y=-

1

4

x2+6的交点为（0，6）和（2，5）．
所以存在点D（2，5），使得以A、B、C、D为顶点的四边形为梯形．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是求直线与抛物线的交点问题，此题难度不是很大．