Question

观察图形，用S_i表示第i个三角形的面积，有S1=

1

2

；S2=

2

2

；S3=

3

2

，…，若S₁+S₂+S₃+…+S_n＞10，则n的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用不等式

a1+a2+…+an

n

≤

a12+a22+…+an2 n

，结合S₁+S₂+S₃+…+S_n＞10，解不等式即可．

解答：解：∵S_i表示第i个三角形的面积，
由不等式

a1+a2+…+an

n

≤

1

2

n

a12+a22+…+an2 n

，得

1 + 2 + 3 +…+ n

2

≤

1

2

n

1+2+3+…+n n

=

1

2

n

n+1 2

，
而S₁+S₂+S₃+…+S_n=

1 + 2 + 3 +…+ n

2

，S₁+S₂+S₃+…+S_n＞10，
∴

1

2

n

n+1 2

＞10，即n²（n+1）＞800，
n为正整数，n的最小值为9．
但n=9时，代入S₁+S₂+S₃+…+S_n＜10，不符合题意，
故n=10．

点评：本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．