Question

如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合)，连结BP. 将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P,连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F.

      （1） 如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在  ▲  关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；

（2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在

△BEF△AEP？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为S，求S关于x的函数关系式.

Answer 1

解: （1） 相似   …………………………………2分

由题意得：∠APA₁=∠BPB₁=α   AP= A₁P  BP=B₁P

则  ∠PAA₁ =∠PBB₁ = …………………3分

∵∠PBB₁ =∠EBF        ∴∠PAE=∠EBF

又∵∠BEF=∠AEP

∴△BEF ∽△AEP…………………………………………5分

（2）存在，理由如下： …………………………………………6分

易得：△BEF ∽△AEP

若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可  ∴∠BAE=∠ABE

∵∠BAC=60°       ∴∠BAE=

∵∠ABE=β   ∠BAE=∠ABE     ……………………………8分

∴ 即α=2β+60°     ………………………………9分

（3）连结BD，交A₁B₁于点G，

过点A₁作A₁H⊥AC于点H.

∵∠B₁ A₁P=∠A₁PA=60° ∴A₁B₁∥AC

由题意得：AP= A₁ P   ∠A=60°

∴△PAA₁是等边三角形

∴A₁H= …………………8分

在Rt△ABD中，BD=

∴BG=……………… 12分

∴ （0≤x＜2）…………13分