Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．

（I）证明：EO=EB；

（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；

（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）P的坐标为（4，2）或（，）或P（﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．

【解析】分析：（Ⅰ）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；

（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；

（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．

详解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，

∴∠DOB=∠AOB，

∵BC∥OA，

∴∠OBC=∠AOB，

∴∠OBC=∠DOB，

∴EO=EB；

（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），

∴直线OB解析式为y=x，

∵点P是直线OB上的任意一点，

∴设P（a，a）．

∵O（0，0），C（0，4），

∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．

当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：

①如果PO=PC，那么PO2=PC2，

则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；

②如果PO=OC，那么PO2=OC2，

则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；

③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，

则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；

故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；

（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，

此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．

由（1）有，EO=EB，

∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），

设OE=x，则DE=8-x，

在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，

∴16+（8-x）2=x2，

∴x=5，

∴BE=5，

∴CE=3，

∴DE=3，BE=5，BD=4，

∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，

∴DG=，

由题意有，GN=OC=4，

∴DN=DG+GN=+4=．

即：AM+MN的最小值为．