Question

5．已知p²-2p-5=0，5q²+2q-1=0，其中p、q为实数，求p²+$\frac{1}{{q}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 将5q²+2q-1=0变形为（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，结合p²-2p-5=0即可得出p和$\frac{1}{q}$为方程x²-2x-5=0的两个实数根，根据根与系数的关系即可得出p+$\frac{1}{q}$=2、p•$\frac{1}{q}$=-5，再将其代入p²+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$（p+\frac{1}{q}）^{2}$-2p•$\frac{1}{q}$中即可得出结论．

解答 解：∵5q²+2q-1=0，
∴q≠0，（$\frac{1}{q}$）²-2•$\frac{1}{q}$-5=0，
又∵p²-2p-5=0，
∴p和$\frac{1}{q}$为方程x²-2x-5=0的两个实数根，
∴p+$\frac{1}{q}$=2，p•$\frac{1}{q}$=-5，
∴p²+$\frac{1}{{q}^{2}}$=$（p+\frac{1}{q}）^{2}$-2p•$\frac{1}{q}$=2²-2×（-5）=14．

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．