Question

【题目】如图1，在边长为3的等边中，点从点出发沿射线方向运动，速度为1个单位/秒，同时点从点出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作交射线于点，连接交射线于点．

（1）如图1，当时，求运动了多长时间？

（2）如图1，当点在线段（不考虑端点）上运动时，是否始终有？请说明理由；

（3）如图2，过点作，垂足为，当点在线段（不考虑端点）上时，的长始终等于的一半；如图3，当点运动到的延长线上时，的长是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出的长．

Answer 1

【答案】（1）运动了1秒；（2）始终有，证明见解析；（3）不变，．

【解析】

（1）设运动了秒，则，，，根据列方程求解即可；

（2）先证明DE=CF，然后根据“ASA”证明，从而可证始终有；

（3）根据DE//BC得出∠ADE=∠B=60°，然后再在利用等边三角形的性质得出，再证明，得到，根据可解．

解：（1）设运动了秒，则，，，

当时，

∵，

∴，

∴，即，

解得，

∴运动了1秒．

（2）∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴

∵

∴

又∵

∴，．

在与中

∴

∴；

（3）不变．

理由：∵，

∴，

∴是等边三角形，

∵，

∴，

在与中

，

∴，

∴，

∴，

∴．