Question

已知抛物线y=x²+kx-k²（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．

Answer 1

解：（1）△=k²-4×1×（-k²）=4k²
∵k＞0，
∴△=4k²＞0．
∴此抛物线与x轴总有两个交点．

（2）方程x²+kx-k²=0的解是：
x=k或x=-k．
∵，
∴OM＞ON．
∵k＞0，
∴M（-k，0），N（k，0），
∴OM=k，ON=k．
∴，
解得k=2．
分析：（1）可让y=0，然后证所得的一元二次方程满足△＞0即可．
（2）根据（1）的一元二次方程可求出方程的两个根，也就是M、N两点的横坐标，根据给出的条件，可得出M点横坐标的绝对值要大于N的横坐标的绝对值，因此可据此确定M、N两点的坐标，即可得出OM，ON的长，然后代入给出的等量关系中，即可求出k的值．
点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的y值为0时就可转化成一元二次方程．