Question

①如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD．若∠ABC=60°，BC=12，则梯形ABCD的周长为________．
②如图2，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB⊥AD，AD=DC=BC=2cm，那么梯形ABCD的面积是________．
③如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．则∠ABD的度数为________；若AD=2，则对角线BD的长为________．

Answer 1

30    3cm²    90°    2
分析：①过D作DE∥AB交BC于E，得出平行四边形和等边三角形，推出AD=BE，DE=DC=EC，求出AD，即可求出答案；
②过D作DF⊥AB于F，求出∠DBA=30°，求出AB和高DF，即可求出梯形面积；
③求出∠A=∠ABC，求出∠DBA=30°，即可求出∠ADB=90°，根据AD求出AB，根据勾股定理求出BD即可．
解答：①过D作DE∥AB交BC于E，
∵DE∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，AD=BE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C=60°，AB=DC=DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC=DE=DC，
∵AB=AD=CD，BC=12，AD=BE，EC=DC，
∴BE=EC=6，
∴AD=6=AB=DC，
∴梯形ABCD的周长是AD+DC+BC+AB=6+6+12+6=30，
故答案为：30．
②∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠A=∠CBA，
∵DC∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∵DC=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠CBD=∠DBA=ABC=∠A，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBA=90°，
∴∠A=60°，∠DBA=30°，
∴AB=2AD=4cm，
过D作DF⊥AB于F，
∵∠A=60°，
∴∠ADF=30°，
∴AF=AD=1cm，
由勾股定理得：DF==（cm），
∴梯形ABCD的面积是×（CD+AB）×DF=×（2+4）×=3（cm²）
故答案为：3cm²．
③∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠ABD，
∵四边形ABCD是等腰梯形，∠A=60°，
∴∠A=∠ABC=60°，
∴∠DBA=30°，
∴∠ADB=180°-60°-30°=90°，
∵∠ADB=90°，∠DBA=30°，AD=2，
∴AB=2AD=4，由勾股定理得：BD==2，
故答案为：90°，2．
点评：本题综合考查了等腰梯形性质，平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点的运用．