Question

如图1，在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B为x轴正半轴上一点，点D的坐标为（-

3

，1），△AOD和△BDC（点B、D、C沿顺时针方向排列）都为等边三角形．
（1）求证：△BOD≌△CAD；
（2）若△BDC的边长为7，求AC的长及点C的坐标；
（3）设（2）中点B的位置为初始位置，点B在x轴上由初始位置以1个单位/秒的速度向左运动，等边△BCD的大小也随之变化，在运动过程中△AOC是否能成为等腰三角形？如果能，请直接写出运动时间t的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件可以求出DC=DB，DA=DO，∠CDA=∠ODB，从而可以求出△BOD≌△CAD，
（2）作DE⊥x轴于点E，由点D的坐标可以求出DE、OE的值，在Rt△DEB中由勾股定理可以求出BE的值进而求出OB的值，可以代换出AC的值，设出C点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程组就可以求出点C的坐标．
（3）点B在运动的过程中就会有AC=AO，OC=AC，OA=OC的不同情况下△AOC为等腰三角形，根据AC=OB的条件就可以求出其对应的t值．

解答：解：（1）∵△AOD和△BDC是等边三角形，
∴DC=DB，DA=DO，∠CDB=∠ODA=60°，
∴∠CDB-∠ADO=∠ODA-∠ADO，
∴∠CDA=∠ODB，
∴△BOD≌△CAD；
（2）作DE⊥x轴于点E，
∵△BOD≌△CAD，
∴OB=AC，
∵点D的坐标为（-

3

，1），
∴DE=1，OE=

3

，
∴在Rt△BDE中，BD=CD=BC=7，由勾股定理，得
BE=4

3

，
∴OB=3

3

∴AC=3

3

．B（3

3

，0）
如图，设点C（x，y），在Rt△DHC和Rt△CGB中，由勾股定理，得

(x+ 3 )2+(y-1)2=49 (3 3 -x)2+y2 =49

，解得

x= 3 3 2 y= 13 2

或

x= 3 2 y=- 11 2

（不符合题意）
∴C（

3 3

2

，

13

2

）．   
（3）如图（1）当OA=AC时，△AOC是等腰三角形，
∵OB=AC，
∴OA=OB=2，
∴t=3

3

-2．

如图（2），当B运动到B′时，C点落在OA的垂直平分线上C′时，△AOC是等腰三角形，△DB′C′是等边三角形，连接OC′，
∴四边形DB′OC′是菱形，
∴B′D=B′O=OC′，OE=1，C′E=

3

3

，
∴OC′=

2 3

3

，
∴t=

2 3

3

+3

3

=

11 3

3

如图（2）当B运动到B″时，B″O=DO，这时AO=AC″，△AOC是等腰三角形，
∴OB″=2，
∴t=OB″+OB=3

3

+2，
如图（2）当B运动到B₃时，点C₃在AO的中垂线上时，△AOC₃是等腰三角形，
∴△B₃DO是Rt△，且∠DB₃O=60°，∠B₃OD=30°，
∴∠B3DO=90°，且OD=2，由勾股定理，得
∴OB₃=

4 3

3

，
∴t=3

3

+

4 3

3

=

13 3

3

，
∵点B、D、C要沿顺时针方向排列，
∴t值不存在．
当B运动到B₅时，DB₅=DO=2，C点在第三象限，即C₅．
∴∠DB₅O=∠B₅OD=30°．
∵△B₅C₅D是等边三角形，
∴∠B₅DC₅=60°，
∴DC₅⊥OB₅．
∴由勾股定理可以求出

1

2

OB₅=

3

，
∴OB₅=2

3

，∴t=2

3

+3

3

=5

3

综上所述：∴t1=3

3

-2，t2=

11

3

3

，t3=3

3

+2，t₄=5

3

．
⑤

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，两点间距离公式的运用，等腰三角形的判定与性质及勾股定理的运用．