题目内容
已知二次函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且f（0）=0，f（1）=1，则f（x）=________．
-x2+2x
分析：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），然后根据二次函数图象的对称性找出对称轴方程、由已知条件求出c、a的值．利用待定系数法求得f（x）．
解答：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
由f（1+x）=f（1-x），知
f（x）关于x=1对称，所以-
=1，即b=-2a，①
∵f（0）=0，
∴c=0；②
又∵f（1）=1，
∴f（1）=a-2a=-a=1，
解得，a=-1③
由①③解得，b=2
由①②③，得
f（x）=-x2+2x；
故答案是：-x2+2x．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答该题的关键是根据已知条件“f（1+x）=f（1-x）”求得该二次函数的对称轴方程．
分析：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），然后根据二次函数图象的对称性找出对称轴方程、由已知条件求出c、a的值．利用待定系数法求得f（x）．
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由f（1+x）=f（1-x），知
f（x）关于x=1对称，所以-
=1，即b=-2a，①∵f（0）=0，
∴c=0；②
又∵f（1）=1，
∴f（1）=a-2a=-a=1，
解得，a=-1③
由①③解得，b=2
由①②③，得
f（x）=-x2+2x；
故答案是：-x2+2x．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答该题的关键是根据已知条件“f（1+x）=f（1-x）”求得该二次函数的对称轴方程．
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