Question

已知：⊙O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在⊙O上，∠ECO=∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB=x，CE=y
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；
（3）如果BF=1，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．在圆O中，根据垂径定理可得BD=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

1

2

EC=

1

2

y，在Rt△ODB中，根据勾股定理可得OD=

36-x2

2

，通过AAS证明△ODB≌△EHO，由全等三角形的性质得到EH=OD，依此可得y与x之间的函数解析式；
（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：①若∠OFE=90°，证明△OAB是等腰直角三角形，求得AB的长；②若∠EOF=90°，证明△OAB是等边三角形，求得AB的长；
（3）分两种情况：①当CF=OF=OB-BF=2时，可得：△CFO∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=

OC2

CF

=

9

2

，则EF=CE-CF可求；②当CF=OF=OB+BF=4时，可得：△CFO∽△COE，根据相似三角形的性质得到CE=

OC2

CF

=

9

4

，则EF=CF-CE可求．

解答：解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．
∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=x，CE=y，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

x，EH=

1

2

EC=

1

2

y，
∵在Rt△ODB中，OD²+BD²=BO²，OB=3，
∴OD=

36-x2

2

，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO=∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB，
在△ODB与△EHO中，

∠ODB=∠OHE=90° ∠CEO=∠BOC OE=OB

，
∴△ODB≌△EHO（AAS），
∴EH=OD，
∴

y

2

=

36-x2

2

，
∴y=

36-x2

，函数定义域为0＜x＜6；

（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：
①若∠OFE=90°，则∠COF=∠OCF=45°
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=

2

•OB=3

2

；
②若∠EOF=90°，则∠OEF=∠COF=∠OCF=30°，
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OB=3；

（3）①当CF=OF=OB-BF=2时，
可得：△CFO∽△COE，CE=

OC2

CF

=

9

2

，
则EF=CE-CF=

9

2

-2=

5

2

；
②当CF=OF=OB+BF=4时，
可得：△CFO∽△COE，CE=

OC2

CF

=

9

4

，
则EF=CF-CE=4-

9

4

=

7

4

．

点评：考查了圆的综合题，涉及的知识点有：垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．