Question

12．如图，菱形ABCD中∠A=60°，过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F，BF与DE相交于M．求证：
（1）BD是BE和DF的比例中项；
（2）BD是DM和DE的比例中项．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是菱形，得到AB=AD=BC=CD，AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠EBC=∠A=∠CDF，∠AEF=∠DCF，于是求得△BCE∽△CDF，得到$\frac{BE}{CD}=\frac{BC}{DF}$，等量代换得到$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{DF}$，于是得到结论；
（2）推出△DBE∽△FBD，根据相似三角形的性质得到∠BED=∠FBD，证得△BDM∽△EBD，得到$\frac{BD}{DE}=\frac{DM}{BD}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EBC=∠A=∠CDF，∠AEF=∠DCF，
∴△BCE∽△CDF，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{BC}{DF}$，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=BC=CD，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{DF}$，
∴BD²=BE•DF，
即BD是BE和DF的比例中项；

（2）∵$\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{DF}$，
∵∠EBD=∠BDF=120°，
∴△DBE∽△FBD，
∴∠BED=∠FBD，
∵∠BDM=∠BDE，
∴△BDM∽△EBD，
∴$\frac{BD}{DE}=\frac{DM}{BD}$，
∴BD²=DE•DM，
即BD是DM和DE的比例中项．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．