Question

【题目】如图，四边形 是正方形， 是 垂直平分线上的点，点 关于 的对称点是 ，直线 与直线 交于点 .

（1）若点 是 边的中点，连接 ，则 ＝；
（2）小明从老师那里了解到，只要点 不在正方形的中心，则直线 与 所夹锐角不变．他尝试改变点 的位置，计算相应角度，验证老师的说法．

如图，将点 选在正方形内，且△ 为等边三角形，求出直线 与 所夹锐角的度数；
（3）请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.

我选择小明的想法；并简述求直线 与 所夹锐角度数的思路．

Answer 1

【答案】
（1）45
（2）

解：∵ 是等边三角形，

∴ ， ．

∵四边形 是正方形，

∴ ， ， ．

∴ ， ．

∴ ．

∵点 是点 关于 的对称点，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ≌

∴ ．

∴ ．

∴

（3）

解：如果沿用小明的想法：

方法一：如图，我将点 选在 边的中点．

∵四边形 是正方形，

∴ ， ， ， ．

∵点 是点 关于 的对称点，

∴ .

∴ .

∴ 在 上.

∴ 在直线 上.

∴ .

∴ ， .

∵ 是 的中点，

∴ ，

∴ ≌ ．

∴ .

∴ .

∵ ，

∴ 是等腰直角三角形.

∴ .

∴ .

∴直线 与 所夹锐角为 ．

方法二：如图，我将点 选在正方形外，使 的位置，

连接 ．

∵四边形 是正方形，

∴ ， ．

∵ 在 的垂直平分线上，

∴ ．

∴ ．

∵ ，

∴ ， ．

∴ ．

∵点 是点 关于 的对称点，

∴ ．

∴ ， ， 三点共线.

∴点 与点 重合．

∴ ， ．

∴ ．

∴ ≌ ．

∴ ．

【解析】（1）根据已知条件画出图形即可求得∠ FAD度数.
（2）由等边三角形的性质得 ∠EBA=∠EAB=60° ， BE=EA=AB ；由正方形性质得 AB=AD ， ∠ABD=45° ， ∠BAD=90° ；等量代换得AE=AD， ； ∠EAD=∠BAD∠BAE=30° ， ∠AED=75° ；由条件证ΔABF ≌ ΔEBF，根据全等三角形的性质得FA=FE ；∠FAE=∠FEA=75° ；∠FAD=∠FAE∠EAD=45°
（3）点 E 选在正方形外，使 ∠EDC=45° 的位置，连接 CE ．
由正方形性质得， DA=DC ， ∠BDA=∠BDC=45° ；由E垂直平分线得性质得ED=CE ，由等腰三角形的性质得ED⊥BD ；再由已知条件证
ΔADF ≌ ΔCDE ；根据等腰三角形的性质得 ∠FAD=∠ECD=45° .
【考点精析】掌握等腰直角三角形和等边三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．