Question

如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．

（1）若的外接圆与轴交于点，求点坐标．

（2）若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．

（3）二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，求此函数的解析式．

Answer 1

解：（1）连结AD，则∠ADO＝∠B＝60⁰

在Rt△ADO中，∠ADO＝60⁰

所以OD＝OA÷＝3÷＝

所以D点的坐标是（0，）

（2）猜想是CD与圆相切

    ∵　∠AOD是直角，所以AD是圆的直径

又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝30⁰

∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠  即CD⊥AD

∴　CD切外接圆于点D

（3）依题意可设二次函数的解析式为 ：

y=α（x－0）(x－3)

由此得顶点坐标的横坐标为：x==;

即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，则得∠EFA＝∠B＝30⁰

得到EF＝EA＝　

可得一个顶点坐标为（，）

同理可得另一个顶点坐标为（，）

分别将两顶点代入y=α（x－0）(x－3)可解得α的值分别为，

则得到二次函数的解析式是y=x(x－3)或y= x(x－3)