Question

如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是腰长为5的等腰三角形时，AP的长度为________．

Answer 1

2或3或8
分析：先求出BQ=5，再分①PQ=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，根据勾股定理求出QE，再求出BE，即可得到AP；②BP=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，根据勾股定理列式求出BE，即可得到AP；③PQ=BQ=5且△PBQ为钝角三角形时，BE=QE+BQ，计算即可得解．
解答：解：∵AD=10，点Q是BC的中点，
∴BQ=BC=×10=5，
①如图1，PQ=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，
根据勾股定理，QE===3，
∴BE=BQ-QE=5-3=2，
∴AP=BE=2；
②如图2，BP=BQ=5时，过点P作PE⊥BC于E，
根据勾股定理，BE===3，
∴AP=BE=3；
③如图3，PQ=BQ=5且△PBQ为钝角三角形时，
BE=QE+BQ=3+5=8，
AP=BE=8，
综上所述，AP的长为2或3或8．
故答案为：2或3或8．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．