Question

（2013•怀柔区二模）如图，等边△ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．设线段MN运动的时间为t秒，四边形MNQP的面积为S厘米²．则表示S与t的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：过点C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质可得AD=BD=

1

2

AB，然后分：①点N在AD上时，P、Q都在AC上，利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式；②点N在BD上，点M在AD上时，点P在在AC上，点Q在BC上，先表示出AM、BN，再利用∠A、∠B的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式；③点M在BD上时，点P、Q都在BC上，利用∠B的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式．

解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵等边△ABC的边长为4厘米，
∴AD=BD=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
①点N在AD上时，0≤t≤1，P、Q都在AC上，
∵MN=1，
∴AM=t，AN=t+1，
∴PM=AM•tan60°=

3

t，QN=AN•tan60°=

3

（t+1）=

3

t+

3

，
S=

1

2

（

3

t+

3

t+

3

）=

3

t+

3

2

；
②点N在BD上，点M在AD上时，1＜t＜2，点P在在AC上，点Q在BC上，
AM=t，BN=4-t-1=3-t，
PM=AM•tan60°=

3

t，QN=BN•tan60°=

3

（3-t）=3

3

-

3

t，
S=

1

2

（

3

t+3

3

-

3

t）=

3 3

2

；
③点M在BD上时，2≤t≤3，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=4-t-1=3-t，
PM=BM•tan60°=

3

（4-t）=4

3

-

3

t，QN=BN•tan60°=

3

（3-t）=3

3

-

3

t，
S=

1

2

（4

3

-

3

t+3

3

-

3

t）=-

3

t+

7 3

2

；
综上所述，四边形MNQP的面积为S=

3 t+ 3 2 (0≤t≤1) 3 3 2 (1＜t＜2) - 3 t+ 7 3 2 (2≤t≤3)

，
函数图象为三段线段．
纵观各选项，只有A选项图形符合．
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据点P、Q所在的位置，确定出PM、QN的长度，然后利用梯形的面积公式列式得到S与t的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．