题目内容

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，动点M，N分别从点B，C出发，沿BC，CD方向在BC，CD上运动，点M，N运动速度分别为2cm/s和1cm/s
（1）当点M，N运动了几秒时，有MN∥BD？
（2）点M在边BC上运动时，设点M运动的时间为t（s），是否存在某一时刻t（s），使得△AMN的面积最小？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
在等腰梯形ABCD中，
∵AD=8cm，BC=14cm，
BE=CF= $\text{[math]}$ （BC-AD）= $\text{[math]}$ （14-8）=3cm，
又∵∠ABC=∠C=60°，
∴DC=AB= $\text{[math]}$ =3×2=6．
∵MN∥BD，
∴△CMN∽△CND，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．

（2）作NG⊥BC于G．
∵AE=DF=6×sin60°=6× $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ cm，
又∵△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，
∴S_△NMC= $\text{[math]}$ MC•NG= $\text{[math]}$ （14-2t）t•sin60°= $\text{[math]}$ （14-2t）t=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，
S_△ADN= $\text{[math]}$ AD•（3 $\text{[math]}$ -t•sin60°）= $\text{[math]}$ ×8×（3 $\text{[math]}$ -t•sin60°）=12 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ t，
S_△ABM= $\text{[math]}$ BM•AE= $\text{[math]}$ ×2t•3 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ tcm．
S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ 3 $\text{[math]}$ •（8+14）=33 $\text{[math]}$ cm²．
则S_△AMN=33 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t-12 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ t-3 $\text{[math]}$ t
=33 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t-12 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ t-3 $\text{[math]}$ t
= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+21 $\text{[math]}$ ．
当t=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，二次函数取得最小值．
分析：（1）作AE⊥BC，DF⊥BC，根据AD∥BC，AD=8cm，BC=14cm，∠ABC=60°，利用三角函数求出梯形的高，再根据相似三角形的性质列出比例式，求出MN∥BD时所用时间；
（2）由于△AMN的面积=梯形的面积-△ADN的面积-△ABM的面积-△NMC的面积，分别用t表示出梯形的面积、△ADN的面积、△ABM的面积和△NMC的面积，便将△AMN的面积转化为二次函数最值问题解答．
点评：本题结合动点问题考查了等腰梯形的性质，作出梯形的高、求出梯形的两腰、并将三角形的最值问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．