Question

已知关于x的一元二次方程x2-2kx+

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2

k2-2=0，
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设x₁、x₂是方程的两个根，且x₁²-2kx₁+2x₁x₂=5，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；
（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答：解：（1）已知关于x的一元二次方程x2-2kx+

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2

k2-2=0，
∴△=（-2k）²-4×（

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k²-2）=2k²+8，
∵2k²+8＞0恒成立，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵x₁、x₂是方程的两个根，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=

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k²-2，
∴x₁²-2kx₁+2x₁x₂=x₁²-（x₁+x₂）x₁+2x₁x₂=x₁x₂=

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2

k²-2=5，
解得k=±

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．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．