Question

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。

Answer 1

解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°， ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN， 即∠BMA=∠NBE， 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小； ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：连接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等边三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 设正方形的边长为x，则BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去负值）， ∴正方形的边长为。