Question

【题目】阅读理解：

材料．若一元二次方程 的两根为 ，，则，．

材料．已知实数 ， 满足 ，，且 ，求的值．

解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，

根据材料 得 ，，

∴．

解决问题：

（1）一元二次方程 的两根为 ，，则 ， ．

（2）已知实数 ， 满足 ，，且，求

的值．

（3）已知实数 ， 满足 ，，且 ，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）．

【解析】

（1）直接根据根与系数的关系求解；

（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=-，接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；

（3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p2q=-2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=（p+2q）2-2p2q，然后利用整体代入的方法计算．

解（1）x1+x2=4，x1x2=-3，

故答案为：，；

（2）∵m、n满足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，

∴m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，

∴m+n=1，mn=-，

∴m2n+mn2=mn（m+n）=-×1=-；

（3）设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，

则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，

∴p+2q=3，p2q=-2，

∴p2+4q2=（p+2q）2-2p2q=32-2×（-2）=13．