Question

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与抛物线交于点A（3， n）。
（1）求n的值及抛物线的解析式；
（2） 过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数（x>0）的图象于点C，且AC=2AB，求B、C两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵点A（3， n）在反比例函数的图象上， ∴ ∴A（3，）， ∵点A（3，）在抛物线上， ∴， ∴ ∴抛物线的解析式为；
（2）分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E， ∴AD∥CE， ∴△ABD∽△CBE， ∴， ∵AC=2AB， ∴， 由题意，得AD=， ∴， ∴CE=4， 即点C的纵坐标为4， 当y=4时，x=1， ∴C（1，4） ∵，DE=2， ∴， ∴BD=1， ∴B（4，0）；
（3）∵抛物线的对称轴是， ∴P在直线CE 上， 过点P作PF⊥BC于F， 由题意，得PF=PE， ∵∠PCF =∠BCE，∠CFP =∠CEB =90°， ∴△PCF∽△BCE， ∴， 由题意，得BE=3，BC=5， ①当点P在第一象限内时，设P（1，a） （a＞0）， 则有，解得， ∴点P的坐标为， ②当点P在第四象限内时，设P（1，a） （a＜0） 则有，解得， ∴点P的坐标为（-1，6）， ∴点P的坐标为或（-1，6）。