题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）求a，b的值；
（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
【答案】（1）a=﹣1，b=4；
（2）d=3t+t=4t；
（3）R（
，
）．
【解析】
试题分析：（1）由已知可得出A，B点坐标，从而根据待定系数法得出a，b的值；
（2）由已知可得出AD=BD，从而∠BAD=∠ABD=45°，进而可得出tan∠BOD=tan∠MPF，故
=3，MF=3PF=3t，即可得出d与t的函数关系；
（3）由S△ACN=S△PMN，则可得
AC2=2t2，从而得出AC=2t，CN=2t，则M（4﹣2t，6t），求出t的值，进而得出△PMQ∽△NBR，求出R点坐标．
试题解析：（1）∵y=﹣x+4与x轴交于点A，
∴A（4，0），
∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，
∴B（1，3），
∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），
∴
，
解得：
，
∴a=﹣1，b=4；
（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，
∵B（1，3），A（4，0），
∴OD=1，BD=3，OA=4，
∴AD=3，
∴AD=BD，
∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，
∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，
∴∠PNF=∠ANC=45°，
∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，
∴NF=PF=t，
∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，
∴∠MPF=∠MEC，
∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，
∴∠MPF=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠MPF，
∴=3，
∴MF=3PF=3t，
∵MN=MF+FN，
∴d=3t+t=4t；
（3）如备用图，由（2）知，PF=t，MN=4t，
∴S△PMN=
MN×PF=×4t×t=2t2，
∵∠CAN=∠ANC，
∴CN=AC，
∴S△ACN=AC2，
∵S△ACN=S△PMN，
∴AC2=2t2，
∴AC=2t，∴CN=2t，
∴MC=MN+CN=6t，
∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，
∴M（4﹣2t，6t），
由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，
将M（4﹣2t，6t）代入y=﹣x2+4x得：
﹣（4﹣2t）2+4（4﹣2t）=6t，
解得：t1=0（舍），t2=，
∴PF=NF=，AC=CN=1，OC=3，MF=
，PN=
，PM=
，AN=
，
∵AB=3，
∴BN=2，
作NH⊥RQ于点H，
∵QR∥MN，
∴∠MNH=∠RHN=90°，
∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，
∴NH∥OC，
∴∠HNR=∠NOC，
∴tan∠HNR=tan∠NOC，
∴
，
设RH=n，则HN=3n，
∴RN=
n，QN=3n，
∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，
∵ON=
，
OB=，
∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，
∵PM∥OB，
∴∠OBN=∠MPB，
∴∠MPB=∠BNO，
∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，
∴∠BRN=∠MQP，
∴△PMQ∽△NBR，
∴
，
∴
，
解得：n=
，
∴R的横坐标为：3﹣
，R的纵坐标为：1﹣
=，
∴R（，）．
