Question

【题目】反比例函数的图象经过点点是直线上一个动点，如图所示，设点的横坐标为且满足过点分别作轴，轴，垂足分别为与双曲线分别交于两点，连结．

（1）求的值并结合图像求出的取值范围；

（2）在点运动过程中，求线段最短时点的坐标；

（3）将三角形沿着翻折，点的对应点得到四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由；

（4）在点运动过程中使得求出此时的面积．

Answer 1

【答案】（1），，（2），（3）能，，

（4）

【解析】

（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；

（2）根据线段OC最短可知OC为∠AOB的平分线，对于，令，即可得出C点坐标，把代入中求出的值即可得出P点坐标；

（3）当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，由此时P横纵坐标相等且在直线上即可得出结论．

（4）设，则，，根据PD=DB，构建方程求出，即可解决问题．

解：（1）∴反比例函数（x＞0，k≠0）的图象进过点（1，3），

∴把（1，3）代入，解得，

．

∵ ，

∴，

，

∴由图象得：；

（2）∵线段OC最短时，

∴OC为∠AOB的平分线，

∵对于，令，

∴，即C，

∴把代入中，得：，即P；

（3）四边形O′COD能为菱形，

∵当OC=OD时，四边形O′COD为菱形，

∴由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，

∴此时P横纵坐标相等且在直线上，

即，解得：，即P．

（4）设B，则，

∵PD=DB，

∴，

解得：（舍弃），

∴，D，，，