题目内容
（2009•黑河）直线y=kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），动点P从O点出发，沿路线O?B?A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当S=12时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）解方程x2-14x+48=0求出方程的两根，就得到A，B的坐标；
（2）当点P在OB上运动时，OP1=t，即三角形OA边上的高是OP，则面积就可以求出；当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，根据△AP2D∽△ABO就可以表示出P2D，则△OP2A的面积就可以表示出来，从而得到函数解析式；
（3）本题应分当点P在OB上运动和当点P在BA上运动两种情况进行讨论，两种情况下对应的函数解析式已经求出，可以求出相应的t的值，进而求出点的坐标．
解答：解：（1）解方程x2-14x+48=0得：x1=8，x2=6，
∴A（8，0），B（0，6）；
（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
当点P在OB上运动时，OP1=t，
；
当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，
有
，
∵AP2=6+10-t=16-t，
∴
，
∴
；
（3）当4t=12时，t=3，P1（0，3），
此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；
当
时，t=11，P2（4，3），
此时，M1（0，3）、M2（0，-6）．
点评：本题是一个综合应用题，用到了相似三角形的性质，方程的解法，是一个函数与三角形的综合问题．
（2）当点P在OB上运动时，OP1=t，即三角形OA边上的高是OP，则面积就可以求出；当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，根据△AP2D∽△ABO就可以表示出P2D，则△OP2A的面积就可以表示出来，从而得到函数解析式；
（3）本题应分当点P在OB上运动和当点P在BA上运动两种情况进行讨论，两种情况下对应的函数解析式已经求出，可以求出相应的t的值，进而求出点的坐标．
解答：解：（1）解方程x2-14x+48=0得：x1=8，x2=6，
∴A（8，0），B（0，6）；
（2）∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
当点P在OB上运动时，OP1=t，
；当点P在BA上运动时，作P2D⊥OA于点D，
有
，∵AP2=6+10-t=16-t，
∴
，∴
；（3）当4t=12时，t=3，P1（0，3），
此时，过△AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；
当
时，t=11，P2（4，3），此时，M1（0，3）、M2（0，-6）．
点评：本题是一个综合应用题，用到了相似三角形的性质，方程的解法，是一个函数与三角形的综合问题．
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