Question

有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．请你算出“生长”了n次后形成的图形中所有正方形的面积和是（　　）

A．n

B．n+1

C．n²

D．（n+1）²

Answer 1

分析：根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，进而得问题答案．

解答：解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．
根据勾股定理，得a²+b²=c²，
即：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1；
所有正方形的面积之和为2=（1+1）×1；
正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，
正方形M的面积+正方形N的面积=正方形B的面积，
正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积，
=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，
所有正方形的面积之和为3=（2+1）×1，
…
推而广之，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（n+1）×1=n+1，
故选B．

点评：此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．