Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴的正半轴交于点C（0，3）．已知该抛物线的顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABC外接圆的圆心M的纵坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），且抛物线顶点的横坐标为1，
∴=1，即x₁+x₂=2①；
又∵A、B两点间的距离为4，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁=4②，
①与②组成方程组，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
得，
解得 ，
∴函数解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵△ABC外接圆的圆心是M，
∴MA=MB=MC，M点在线段AB的垂直平分线上，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴M的横坐标为：=1．
设M（1，y），由MA=MC，
得（1+1）²+y²=1²+（y-3）²，
解得y=1．
故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1；

（3）在抛物线上存在一点P，能够使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．理由如下：
设PD与BM的交点为E，可求直线BM解析式为y=-x+，
设P（x，-x²+2x+3），分两种情况：
①当S_△BED：S_△BEP=1：2时，PD=3DE，如图．
则-x²+2x+3=3（-x+），
整理，得2x²-7x+3=0，
解得x=或3，
∴或（舍去），
∴P（，）；
②当S_△PBE：S_△BED=1：2时，2PD=3DE，如图．
则2（-x²+2x+3）=3（-x+），
整理，得4x²-11x-3=0，
解得x=-或3，
∴或（舍去），
∴P（-，）．
故在抛物线上存在点P（，）或P（-，），使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．
分析：（1）因为抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），所以A和B关于抛物线的对称轴对称，于是=1①；又因为A、B两点间的距离为4，且x₁＜x₂，所以x₂-x₁=4②，将①②组成方程组，解出x₁，x₂的值，再将点A、B、C的坐标代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B两点的坐标，得出圆心M的横坐标为1，设M（1，y），根据MA=MC列出方程，即可求出M的纵坐标；
（3）设PD与BM的交点为E，分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．
点评：此题是二次函数的综合类题目，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的外心，两点间的距离公式以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大，（3）中进行分类讨论是解题的关键．