Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．当线段AM最短时，重叠部分的面积是________．

Answer 1

分析：先根据相似三角形的判定定理得出△ABE∽△ECM，设BE=x，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM的表达式继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．
解答：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM，
设BE=x，
∴=，即=，
∴CM=-+x=-（x-3）²+，
∴AM=5-CM=（x-3）²+，
∴当x=3时，AM最短为，
又∵当BE=x=3=BC，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE===4，此时EF⊥AC，
∴EM===，
∴S_△AEM=AM•EM=××=．
故答案为：．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及二次函数的最值问题，在解答此题时要注意数形结合思想与函数思想的应用．