Question

【题目】如图①，中，，、∠C的平分线交于点，过点作交、于、.试回答：

（1）图中等腰三角形有________个.猜想：与、之间的关系是________.说明理由；

（2）如图②，若，图中等腰三角形有________个，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？

（3）如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由.

Answer 1

【答案】(1) 5个，；(2)见解析;(3) 见解析.

【解析】

（1）根据等腰三角形的判定、平分线的性质及角平分线可得有5个等腰三角形, 由△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC；

（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．

解：（1）如图1，图中共有5个等腰三角形，分别是△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
理由是：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，
∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，

∴图中是等腰三角形的有：、、、、.

、、的关系是.理由如下：

∵、平分、，

∴，，

∵，

∴，，

即，，

∴.

（2）2个

存在（1）的结论仍然成立.（证明过程同（1））.

（3）和仍是等腰三角形，.理由如下：

同（1）可证得是等腰三角形.

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，故是等腰三角形，

∴.