题目内容
| 如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点． 如图，若整个△EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）． |
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| （1）当x为何值时，OP∥AC； （2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围； （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16） |
| 解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ∴  ， ∴FG=  =3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC ∴OP∥AC ∴x=  = ×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC． （2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm ∵EG∥AH ∴△EFG∽△AFH ∴  ∴AH=  （x+5），FH= （x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D ∵点O为EF中点 ∴OD=  EG=2cm∵FP=3﹣x ∴S四边形OAHP=S△AFH﹣S△OFP =   AH FH﹣  OD FP=    （x+5）  （x+5）﹣ ×2×（3﹣x）=  x2+ x+3（0＜x＜3）．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24 则S四边形OAHP=  ×S△ABC∴  x2+ x+3= × ×6×8∴6x2+85x﹣250=0 解得x1=  ，x2=﹣ （舍去）∵0＜x＜3 ∴当x=  （s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24． |
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