Question

如图，点P是反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象上的一个动点，PA⊥x轴于点A，延长AP至点B，使PB=PA，过点B作BC⊥y轴于点C，交反比例函数图象于点D．
（1）填空：S_△AOP

=

S_△COD（填“＞“＜”或“=”）
（2）当点P的位置改变时，四边形PODB的面积是否改变？说明理由．
（3）连接OB，交反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象于点E，试求

OE

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据P、D两点在反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象上，且PB=PA，设P（m，

2

m

），则B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），由此可求S_△AOP，S_△COD，比较大小；
（2）由S_{四边形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD，计算结果并判断；
（3）根据B点坐标求直线OB的解析式，联立直线OB的解析式与双曲线解析式，求E点坐标，则由相似三角形的性质可知

OE

OB

=

E点纵坐标

B点纵坐标

．

解答：解：（1）依题意设P（m，

2

m

），则B（m，

4

m

），D（

m

2

，

4

m

），
故S_△AOP=

1

2

m×

2

m

=1，S_△COD=

1

2

×

m

2

×

4

m

=1，
即S_△AOP=S_△COD，
故答案为：=；

（2）不改变．
理由：∵S_{四边形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD=m×

4

m

-1-1=2，
∴当点P的位置改变时，四边形PODB的面积总是2，不改变；

（3）设直线OB解析式为y=kx，将B（m，

4

m

）代入，得k=

4

m2

，
可知直线OB解析式为y=

4

m2

x，
联立

y= 2 x y= 4 m2 x

，得

x= 2 m 2 y= 2 2 m

，即E（

2 m

2

，

2 2

m

），
故

OE

OB

=

2 2 m

4 m

=

2

2

．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据反比例函数解析式，矩形的性质设点的坐标，用点的坐标表示线段长度，再计算面积及线段比．