Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程-x²+bx+c=0的解为______；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x为值时，y＜0；
（4）若直线y=k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．

Answer 1

解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，
∴方程的解为x₁=-1，x₂=3，
故答案为：-1或3；
（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）²+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴（3-1）²+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）²+4，
即：抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜-1；
（4）若直线y=k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值，即y＞4．
分析：（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，3两点，所以方程的解为x₁=-1，x₂=3．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y=k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．