Question

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，求的值．

Answer 1

【答案】分析：首先过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，由AB=3，AC=2，∠BAC=120°，易求得EC的长，继而求得△ABC的面积，又由AD是∠BAC的角平分线，由角平分线的性质，可得DF=DG，继而求得DF的长，然后求得AD的长，继而求得答案．
解答：解：过点C作CE⊥BA交BA延长线于点E，过点D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴∠EAC=60°，
∴AE=AC•cos∠EAC=2×=1，EC=AC•sin∠EAC=2×=，
∴S_△ABC=AB•EC=×3×=，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DF=DG，∠FAD=∠BAC=60°，
∴S_△ABC=AB•DF+AC•DG=DF（AB+AC）=×DF×（2+3）=，
∴DF=，
∴在Rt△ADF中，AD===，
∴==．
点评：此题考查了三角形的面积问题、直角三角形的性质、角平分线的性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．