Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC；
（2）求∠BOP的度数．

Answer 1

（1）证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；

（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=（180°-30°）=75°，
∴∠EDC=∠BAC=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，
∵OB=OP，
∴△OBP为等腰直角三角形，
∴∠BOP=90°．
分析：（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰进行的性质即可得到BD=CD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=75°，再根据圆内接四边形的面积得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC-∠PBC=45°，于是可判断△OBP为等腰直角三角形，则∠BOP=90°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了等腰三角形的性质．