Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若OE=3，AO=5，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）先根据垂径定理得出

AD

=

CD

，再走圆周角定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理得出AE=

1

2

AC，在Rt△AOE中，利用勾股定理即可求出AE的长，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵OE⊥AC，
∴

AD

=

CD

，
∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC；

（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE=

1

2

AC，∠OEA=90°，
∵OE=3，OA=5，
∴在Rt△AOE中，
AE=

25-9

=4，
∴AC=2AE=8．

点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理及圆周角定理，即平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．